Если говорить максимально лаконично, то цель игры Stray - помочь главному герою (котику) выбраться из подземного города на поверхность к его родственникам, от которых он по неудачному стечению обстоятельств был оторван в самом начале игры, свалившись вниз после того, как труба, на которую он заскочил, обломалась и рухнула вниз вместе со зверюшкой.
Разумеется, этот путь наверх не будет простым и быстрым: для выполнения цели придется посетить немало локаций, познакомиться со множеством занятных персонажей, неоднократно сбежать от недружелюбных существ, решить различные головоломки и так далее. Но общая цель - это именно выбраться наружу.