Влияние в Stellaris нужно для того, чтобы принимать указы, нанимать лидеров, иметь возможность менять правительство, поддерживать альянсы, взаимодействовать с различными фракциями, строить пограничные форпосты. Проблема только в том, что это самое влияние не так и просто увеличивается, а исходного как правило очень скоро начинает не хватать.
Заработать очки влияния вы можете посредством выполнения мандатов (это если у вас демократическое правление), развития специфических технологий, довольством внутренних фракций, соперничесвом с другими расами. Иногда на влияние также имеют эффект случайные события из мира Stellaris, однако речь идет о небольших колебаниях, а не прорывах. В целом же влияние зарабатывается довольно неспешно, так что запасайтесь терпением.